Задача 1.
Чтобы поддерживать физическую форму, маги решили перестать использовать заклинание телепортации и ходить друг к другу в гости только пешком. Для осуществления данного начинания потребовалось соединить резиденции магов асфальтированными дорожками так, чтобы из каждой резиденции можно было попасть в любую другую, двигаясь по дорожкам (возможно посещая по пути другие жилища). Резиденции магов располагаются в узлах сетки, разбитой на квадраты со стороной 1 км (см. рис.).
Какая получится минимальная длина (в км) всех проложенных дорожек, если каждая дорожка связывает две резиденции и их можно прокладывать либо целиком по горизонтали, либо целиком по вертикали?

Задача 2.
Сколько различных значений можно получить, суммируя а) 5; б) 100 слагаемых, равных 1 или 3.

Задача 3.
Города в магической стране связаны между собой линиями телепортации. Схема самих линий, а также стоимость перемещения по каждой из них в рублях указана на рисунке. В городе A расположена резиденция верховного мага, а его рабочий кабинет – в Академии Высокого Волшебства в городе В.
Помогите верховному магу выбрать наиболее экономичный маршрут для перемещения из резиденции на работу. В ответ запишите стоимость найденного маршрута (в рублях).

Задача 4.
Сколько существует чисел от 1 до 10010, которые делятся или на 7, или на 13.

Задача 5.
Сколько существует очередей в гардероб из 9 человек, в которых Павел и Ваня не стоят рядом друг с другом? (Замечание: у каждой очереди есть начало и конец, поэтому при замене порядка следования школьников на обратный, получаем новую очередь.)

Задача 6.
Защитный барьер от сил зла имеет форму окружности (радиус может быть различным), внутри которой прячется маг или группа магов. Но есть два условия, барьеры не могут пересекаться и два различных барьера не могут возводиться для защиты одной и той же группы магов. Возможно, часть группы внутри одного барьера совпадает с частью группы внутри другого, но полностью группа с другой группой совпадать не может.
Какое максимальное количество барьеров для своей защиты смогут возвести 23 мага?

Задача 7.
Ваня задумал натуральное число от 1 до n, а Павел хочет его отгадать. Для этого Павел может назвать произвольное натуральное число, а в ответ Ваня отвечает «Да», если оно больше задуманного числа, или «Нет» в противном случае.
За какое наименьшее число вопросов указанного вида Павел сможет гарантированно отгадать задуманное Ваней число, если а) n=8? б) n=1000?